WW: Cijferreeksen

De woensdagmiddag is op GeenCommentaar Wondere Woensdagmiddag. Met extra aandacht voor de nieuwste ontwikkelingen in Wetenschap- en Techniekland.

We beginnen vandaag met het volgende puzzeltje: maak de volgende reeks af: 1,2,4,8, ??.

Bent u aan het nadenken? Neem de tijd, we hebben geen haast. Ja? U bent eruit? Als uw antwoord “16” is mag ik u feliciteren: inderdaad is dat het goede antwoord. Wat we hier zien zijn de machten van 2 (2⁰, 2¹,2², 2³,…). Maar u bent niet de enige winnaar, ook mensen met als antwoord “15” winnen vandaag. De getoonde reeks kan namelijk ook gezien worden als begin van de Cake Number reeks (het aantal manieren waarop een 3-dimensionale kubus in n plakken gesneden kan worden). En ook de mensen met die  “17” antwoordden winnen vandaag. Zij hielden blijkbaar de Generalized Catalan Number reeks [pdf] aan.En laten we eigenlijk maar iedereen die mee heeft gedaan feliciteren. Elk antwoord op deze vraag is namelijk correct. En nog erger, dit geldt voor alle cijferreeksen.

De wiskundige vertaling van de bovenstaande vraag is de volgende: gegeven deze cijferreeks, a) geef een reeks-formule die deze sequentie oplevert en b) geef de volgende waarde die je krijgt als je deze reeks-formule gebruikt. En nu is bekend dat voor elke eindige reeks van gehele getallen er een polynoom is die deze reeks beschrijft. Dat wil dus zeggen dat de reeks 1,2,4,8,16 een polynoom heeft (namelijk onder andere a(n) = 2^n) maar ook 1,2,4,8,15 (C(n+1,3)+n+1.) en ook 1,2,4,8,0 of 1,2,4,8,100. Van die laaste twee weet ik de polynomen niet, maar de het wiskundig bewijs geeft aan dat ze er wel degelijk zijn.

Hoewel de cijferreeks-vraag vanuit wiskundig opzicht dus betekenisloos is, zal iedereen die wel eens meegedaan heeft aan een intelligentie-test zal dit type vraag namelijk zeer bekend voorkomen. Bij cijferreeks-vragen is het ‘juiste’ -lees het gezochte- antwoord dat getal dat de volgende waarde is van de meest “of “prettig aanvoelende” polynoom-beschrijving. Zo’n simpele beschrijving voor een uiterlijk complexe reeks getallen geeft een prettig gevoel van abstractie en begrip. Mensen zoeken voortdurend simpele patronen in de chaos die ze omringt en de een kan dit beter dan de ander.

Psychologisch allemaal zeer begrijpelijk dus, maar wiskundig is het dus een volstrekt betekenisloze vraag. Wie allerlei mogelijke (benoemde) reeksen wil bekijken kan terecht op de OEIS On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, waar je het begin van een sequentie kan invoeren en de bijbehorende benoemde reeksen als antwoord krijgt. Op fibonicci.com kan je een aantal van de reeksen zelf uitproberen.

Ten slotte nog een link naar een werkelijk schitterend filmpje over de beroemdste aller reeksen: de Fibonaccireeks.