Blond hè?

poincare.jpgIk gooi het maar even in de groep. Want nu wil ik het weten ook. Kan iemand in een paar woorden misschien even het Poincaré vermoeden uitleggen: waarom een lasso die om een bolvormig ding ligt strak te trekken is tot een punt (?) en alsie door het oor van een theekopje heen ligt niet? En waarom dat belangrijk is?

Waarbij overigens ‘bolvormig’ moet worden opgevat als ieder ruimtelijk voorwerp (pyramide, kubus, koffieblik, jampotje), maar zonder gat (dus geen theekopjes, ringen, herenfietsframes). 

  1. 2

    Grigory Perelman, a 40-year-old native of St. Petersburg, was praised for work in the field known as topology, which studies shapes, and for a breakthrough that might help scientists figure out nothing less than the shape of the universe.

    The riddle Perelman tackled is called the Poincare conjecture, which essentially says that in three dimensions, a doughnut shape cannot be transformed into a sphere without ripping it, although any shape without a hole can be stretched or shrunk into a sphere.
    http://abcnews.go.com/International/wireStory?id=2341460

  2. 7

    Ik heb altijd begrepen dat de bol de “drie dimensies”-entiteit is (visueel model) en dat je een vierde kunt toevoegen door die bol (net als in Paint) met een gelijkblijvende kromming de kop naar de staart te brengen. En ja, dan maak je van een bal een autoband.

    Meer weet ik er ook niet van.

  3. 9

    Nuttigheid: Het is een zeer gesimplificeerde vorm van een boel dingen, en het aantal “gaten” in zo’n ding bepaalt ook een niveau. Kan worden gebruikt voor het bepalen van de korste route van punt a naar b tot de chemische reactie tussen stoffen x en y. Het is een basisbeginsel van het universum zoals wij die waarnemen en waartoe een boel (ook praktische) problemen terug geabstraheerd kunnen worden.

  4. 13

    Ach, tot voor kort geloofden we ook dat papier niet vaker dan acht keer kon worden dubbelgevouwen, tot een middelbaar scholiere anders bewees. Ze kreeg er nog een punt voor ook. Ik zou dat met die lasso met een korreltje zout nemen. Zoiets moet je aan een cowboy vragen, niet aan een wisknuddige.

  5. 14

    Dat is eenvoudig, Trek de lasso hyperstrak aan en je ontneemt het iets op het knooppunt al zijn coordinaten (afstanden) , en dat is dan een punt.

  6. 19

    Als dat gezeur over nut… Beter een miljoen gekken die je overstelpen met ingewikkelde wiskundige bewijzen dan 1 idioot die je overstelpt met bommen en granaten.

    Met behulp van wikipedia doe ik een poging tot uitleg. De lijn die een lasso om een bol vormt, noemt men een ‘loop’, dat wel zeggen een ‘path’ van x naar x, die dus weer bij zichzelf uitkomt.
    De hypothese van Poincare is dat alle loops van een ‘three-dimensional sphere’, zoals een bol, samengetrokken kunnen worden zonder dat de figuur ophoudt een ‘three-dimensional sphere’ te zijn. Voor zover ik begrijp, moet je niet spreken over het aantrekken van de lasso, maar van alle mogelijke lasso’s (alle ‘loops’).
    De figuur wordt dus kleiner naarmate dit proces verder vordert. Uiteindelijk blijft een punt over, maar als je start met een ‘three-dimensional sphere’ dan blijft het dat ook.

    Bij ‘three-dimensional manifolds’ (anderssoortige figuren zoals oren van theekopjes) is dat niet zo. Als het proces in een bepaalde mate gevorderd is dan veranderd de ‘manifold’ in een ‘sphere’.

    In feite gaat het om een karakterisering van het onderscheid tussen twee groepen van drie-dimensionale figuren:
    – three-dimensional spheres (samen te trekken tot een punt)
    – three-dimensional manifolds (niet samen te trekken tot een punt zonder dat de figuur niet meer is wat zij was)

    Uitleg met rubberen band rond appel is vermoedelijk vele helderder dan met een lasso: http://www.claymath.org/millenni…are_Conjecture/

    Zie verder: http://en.wikipedia.org/wiki/Poi…3% A9_conjecture

    Fantastisch he, wetenschap, heerlijk zuiver denken!!!!!!!!

  7. 23

    @JB: ik krijg een foutmelding bij je eerste link. Ik zie nog wel dat als je een bol heeeeel erg samentrekt (laten we die lasso maar even loslaten), dat je een punt krijgt. tsja. Maar wat is dan een manifold?

  8. 25

    Deze beschrijving helpt [mij] ook al niet. Gegeven de ontdekker en zijn tijd zal het probleem ongetwijfeld met de toenmalige fysica te maken hebben. Maar ik kan het ook niet zo plaatsen. Te vroeg voor de quantummechanica en relativiteitstheorie. Lijkt me dus het meest op zijn plaats bij Faraday en Maxwell (Electriciteit dus).

  9. 27

    Deze moet echt werken: http://www.claymath.org/millennium/Poincare_Conjecture/

    Een manifold is een 3d voorwerp met een gat er in, zoals het oor van een theekopje. Als je alle loops, dus alle mogelijke cirkels (lasso’s) rond deze figuur samentrekt, dan lukt dit niet zonder dat de figuur stuk gemaakt wordt. Stel er bestaat een proces omgekeerd aan dat van het oppompen van de binnenband van een fiets. Normaal duw je tijdens het oppompen een binnenband groter en groter, nu trek je de binnenband steeds kleiner. Hoe ver je ook gaat met dit proces, het kan nooit een punt worden zonder dat je de binnenband doorknipt.

  10. 28

    @ JB 27: stel je voor, ik heb een ballon. Een ronde of één in de vorm van mickey mouse, maakt niet uit. Die stop ik in een hoge druk kamer (da’s de equivalent van 100.000 lasso’s). Dan verschrompelt de ballon tot een punt. Een oneindig kleine ruimte.

    Nu heb ik een binnenband. Die stop ik in een hogedrukkamer. Hij wordt ook oneindig klein. Maar hij blijft een band. Theoretisch gezien kan een bacterie nog op zijn fietsje stappen en de band rondfietsen, terwijl dat bij de ballon niet meer gaat, omdat de ruimte tot punt is geworden. De ballon kan dus kleiner worden samengeperst dan de binnenband.

    Zo iets?

  11. 29

    Inderdaad, daar komt het op neer. Een ballon kan samengedrukt worden tot een punt, een binnenband hooguit tot de kleinst mogelijke cirkel waar die punt altijd in blijft passen.

    Ik heb nog wat rond zitten zoeken, maar het valt niet mee om wat uitgebreidere en toegankelijke uitleg te vinden.

  12. 33

    het idee is niet dat die lasso op dezelfde plek blijft, maar dat je de lasso kleiner kan maken tot hij een punt is, zonder dat hij contact met het oppervlak van de bol verliest. Dus je schuift de lasso opzij, en verkleint hem tegelijk totdat hij een punt is.
    Leg je een lasso om de donut, dan loopt hij door het gat heen, en trekt dus uiteindelijk de donut stuk om een punt te kunnen worden; de donut kan niet een punt worden zonder zijn ruimtelijkheid te verliezen, en zonder dus niet meer donut te zijn; het idee is dus dat je de lasso niet van de donut af kan schuiven.
    In de poincaré conjecture gaat het overigens over de 3-sphere, dus niet een bol, als een ballon, maar een 4-dimensionaal equivalent daarvan.

    En een manifold is een ruimte (in hoeveel dimensies dan ook) waarbij elk punt een directe omgeving heeft die als euclidisch-achtig gezien kan worden; die dus zeg maar goed te definieren en lineair is. Dus ook de bol (zonder gat) is een manifold…

  13. 34

    Even een vraagje,…maar wat is het (begin) uitgangspunt? 1 kant-en-klare LASSO + 1 donutvorm + bolvorm?,…..of 1 stuk TOUW + donut + bol?
    Ooit John Wayne zien oefenen op het vangen van donut-shaped objecten? Lukt niet. David Copperfield misschien….

  14. 35

    De theorie: “..the Poincare conjecture, which essentially says that in three dimensions, a doughnut shape cannot be transformed into a sphere without ripping it..”

    ‘k Heb een plak klei genomen, maakte er een ringvorm van, plette die vervolgens (zonder te scheuren) en toch kon ik er een mooie bol van boetseren. De theorie klopt niet.

  15. 38

    Fantastische draad zeg..leerzaam ook, maar toch mis ik iets ergens in de redenatie. Het is ook lastig uit een spiegel te stappen (voor mij dan).

    Enige minpuntje hierboven is dat als er een foto van iemand ergens opduikt en het is geen breedbekkikker wordt ie gelijkdoor sommigen als gek bestempeld. Lang leve pics van mensen zonder geforceerde lach.

    Echt fraai allemaal, thx @Brechtje

  16. 39

    @Canasta, na een flink portie trekken heb ik nu een fles van (Felix) Klein gekregen. Soort van binnenstebuiten gekeerde fietsband of donut.

  17. 40

    Even voor de duidelijkheid: Dit is een interlectuele prestatie van formaat. Bepaald geen kleinigheidje.

    De fieldsmedal krijg je niet voor binnen de lijntjes keuren.

  18. 41

    Dit geldt allemaal ook voor het 2d model. Dat is geen bol maar een lijnstuk, tandenstoker, stukje papier. Die kan met een 3d of 2d lasso je tot een punt reduceren. Wil je de 4d bijdoen (die van de 3d) aan het lijnstuk (het 2d model) toevoegen dan krijg je een aan elkaar gelijmde strook papier. En die is met een lasso niet tot één punt te reduceren.

    De ring van Möbius is natuurlijk heel leuk omdat die een een 2d met een 4d component ook nog eens in een 3d definieert, een dimensie die er binnen de 2d zelf niet is.

    Leuk hoor.

    Doet me een beetje denken aan de gedachtenproefjes met een streng in Gödel, Escher, Bach. Veel te laat zag ik dat je naast de moeilijke manier ook een makkelijke manier had: als ‘streng’ een streng is kun je het proefje met het woord ‘streng’ doen.

  19. 42

    Het plaatje links (de autoband): trek het touw eens aan, je krijgt een Hemaworstje. Het 3d model van alle sterfelijks. Geboorte begint aan de ene poot, dood eindigt aan de andere.

  20. 45

    Bij een bol kun je de lasso eraf schuiven en dicht trekken. Bij een ring krijg je de lasso er nooit af; de ring blijft altijd in de lasso die je daardoor niet dicht kunt trekken.

  21. 47

    Weer zo’n doorgeslagen filosoof die de greep op de realiteit is verloren. En legio personen die er mee weg lopen. Prachtig.

    Neem een joghurt en een rietje. Maak een kring van joghurt op een bord. Damn, we hebben een structuur met een gat. Voeg meer joghurt toe. Nou moe, het gat vult zich. Van donut naar bolvormig zonder mes ;)

    Vormen op zich zijn niets, eerst nadenken waarvoor ze staan, wat is de functionaliteit. Een clustertje moleculen, Punten met dezelfde druk, een magnetihsch veld, wat?