Ik vermoed dat Perelman…

PerelmanEen paar dagen geleden hoorde ik in het nieuws over het Poincaré Vermoeden, een wetenschappelijke stelling die tot voor kort onbewezen was, een van de zogenaamde Millenium Prize Problems. Deze is nu opgelost door de rol-bevestigend nerderige Rus Grigory Perelman. Door hier en daar rond te kijken kwam ik er al snel achter dat ik geen bal van het probleem begreep. Door wat verder te graven en ook de redactie-panelen van Sargasso, denk ik dat ik het doorheb. Here goes, correct me if I’m wrong!

Het gebied van de wiskunde waarin dit avontuur zich afspeelt heet topologie, en bestudeert geometrische figuren of objecten. Alleen de notie van wat “hetzelfde object” is, verschilt radicaal met de normale intuitie. In de topologie zijn een baksteen, een piramide, een bol etc. niet van elkaar te onderscheiden. Je mag elk object namelijk zover “kneden” (oprekken, krimpen of platslaan) als je wil. De enige restrictie is dat je niet mag knippen, scheuren of plakken. Wat wel overeenkomt met de normale intuitie is dat objecte met een of meerdere gaten niet hetzelfde zijn als objecten zonder gat. Dit komt omdat je van een bol geen donut kunt maken zonder te knippen. Alle objecten met een gat erin zijn op hun beurt dus ook weer niet van elkaar te onderscheiden, zoals een koffiekop en een donut.


Een koffiekop en een donut zijn hetzelfde in de topologie

Maar hoe bewijs je nu dat de wiskundige vergelijkingen van twee objecten daadwerkelijk topologisch hetzelfde zijn? De beroemde Franse wiskundige Poincaré wist dit te bewijzen voor objecten met twee dimensies, zoals de oppervlakte van een bol en die van een donut (elk punt op de oppervlakte van deze objecten is te beschrijven met twee coordinaten (x,y) vanuit het middelpunt, dus je hebt maar twee dimensies nodig om de oppervlakte van een bol te beschrijven). Nu vermoedde hij dat zijn bewijs ook gold voor drie dimensies. Het originele vermoeden is daarom:

that every simply connected closed three-manifold is homeomorphic to the three-sphere (in a topologist’s sense) S^3, where a three-sphere is simply a generalization of the usual sphere to one dimension higher. More colloquially, the conjecture says that the three-sphere is the only type of bounded three-dimensional space possible that contains no holes.

Wat dit stukje abacadabra volgens mij zegt is dat alle objecten die (a) simply connected zijn en (b) een manifold met drie dimensies zijn, equivalent zijn aan een bol en daarom gelijk aan elkaar zijn.

Zonder dat ik ook maar enige poging heb gedaan de wiskunde erachter te begrijpen, kan ik op basis van de verschillende leken-uitleggen wel een idee geven van wat men probeert te doen (in het tweedimensionale geval, n=2). Wat je moet bewijzen is dat als je een bol van alle kanten met alle kracht indrukt (alsof het een schuimrubberen bal is), je een punt overhoudt (het middelpunt). Eigenlijk verklein je dus alle coordinaten (x,y) met een factor z tot je bijna niks meer overhoudt. Als je dat nu bij een schuimrubberen donut doet (leg je handen van alle kanten rond de donut-rol), houd je echter een cirkel over in plaats van een punt. Tadaaa, een punt is niet hetzelfde als een cirkel, dus Q.E.D.

Later generaliseerde men de vraagstelling tot alle dimensies. Hoewel de bewijzen voor hogere dimensies langzaam maar zeker gevonden werden, bleek n=3 een lastig probleem. Enter ons genie Perelman, die zich twee jaar terugtrekt op de flat van zijn moeder met geld dat hij met eerder werk verzamelde. Vanaf november 2002 zet hij zijn werk online zonder het naar een wetenschappelijk tijdschrift op te sturen. Al snel hebben de wiskundigen zijn werk in de gaten, en hij wordt door een aantal vooraanstaande universiteiten in de VS uitgenodigd om zijn bewijs verder uit te leggen. Temeer daar hij niet een bewijs levert voor het Poincaré Vermoeden, maar zelfs voor Vermoeden van Thurston waaruit het eerdere Vermoeden direct volgt. Hij neemt de uitnodiging aan, om na het bezoek terug te keren naar St. Petersburg en zijn baan daar op te zeggen. Sindsdien is hij nauwelijks bereikbaar en schijnt hij de wiskunde te hebben opgegeven en paddestoelen te verzamelen in het bos.

Inmiddels heeft men Perelman de Field Medal toegekend, het equivalent van de Nobelprijs (daar er geen Nobelprijs voor Wiskunde bestaat). Hij heeft deze echter geweigerd met de mededeling:

“[the prize] was completely irrelevant for me. Everybody understood that if the proof is correct then no other recognition is needed.”

Da’s dan wel weer soort van stoer. Verder komt Perelman in aanmerking voor de Millenium Prize van een miljoen dollar voor zijn werk, zelfs al voldoet hij niet aan de voorwaarde dat hij zijn oplossing heeft gepubliceerd, maar vermoedelijk zal hij die ook weigeren.

Voor meer informatie zie ook verduidelijkende Noorderlicht artikel waarin meer van de wiskunde en geschiedenis zeer leesbaar wordt gepresenteerd.

Als laatste wil ik met u het Vermoeden van Think Tank delen: om deze wiskunde te begrijpen moet je zo gek zijn als een deur.

P.S. de maatschappelijke relevantie van dit alles ben ik nergens tegengekomen…

  1. 1

    Maatschappelijke relevantie? Weet je hoeveel donuts amerikanen eten? Aangezien je donuts niet tot een punt kunt samendrukken nemen ze meer ruimte in.

    Zie hier de verklaring van de bovenproportionele dikheid van de gemiddelde Amerikaan!

    Waar kan ik mijn field medal ophalen?

  2. 5

    Ach ja, mijn gebrekkige wiskundige achtergrond zal wel debet zijn aan het ontbreken van die link met de werkelijkheid. Maar gek genoeg lijkt niemand in de pers het daar ook over te hebben. Kan best zijn dat ze hier iets nuttigs mee kunnen. Kan zijn dat dat pas over honderd jaar is. Dat heet nou fundamenteel onderzoek, en het zint me niet zo dat dat tegenwoordig een vies woord is.

  3. 6

    @5: Inderdaad. Maar gelukkig zijn er nog mensen/gekken zoals Perelman die dit soort dingen ondanks alles wel willen uitzoeken.

    Als je het zo ziet is het maar goed dat de wereldbevolking toeneemt.
    Hoe meer mensen, hoe meer gekken :-)

  4. 7

    Nog een interessant artikel.

    In the four-dimensional case, the methods used by Smale, Stallings and Zeeman fail. But in 1982 Michael H. Freedman, now at Microsoft Research, succeeded in proving a 4-dimensional version of the Poincaré conjecture (above three dimensions there are subtly different ways to formulate the conjecture). Many questions about the 4-dimensional case remain open today, including the truth of variants of the conjecture other than Freedman’s.

    4-manifolds have some astonishing complexities that are not present in either higher or lower dimensions. It is interesting to speculate that it is not a coincidence that our universe of space and time is four dimensional, the most mathematically complicated case. Perhaps only that case can encompass the complexity necessary for life. Or perhaps the physics of a universe is inherently driven toward the most complicated possibility.

    Dat zou vaag zijn: het meest gecompliceerde geval ipv het meest eenvoudige!

  5. 10

    @HT: Ik dacht dat jij dit topic wel zou kunnen waarderen? Laat je licht er eens over schijnen? Leg ik het een beetje goed uit? Of was topologie geen onderdeel van jouw studie?

  6. 11

    Topologie heeft absoluut niks te maken met mijn studie. Het is één van de weinige wiskundige gebieden die helemaal geen aandacht krijgen in Econometrie. En daar dank ik de goden voor, want het is echt ongelofelijk saai (en ik heb econometrie gestudeerd, so that’s saying a lot).

  7. 12

    Ik vermoed dat de foto van Perelman niet voldoet aan de nieuwe strengere regels voor pasfotos.
    Briljant figuur maar wel een beetje appart, daar zit je niet snel even gezellig een biertje mee te drinken.

  8. 14

    In god zit geen gat en hij/zij/het is overal:
    In gooi een flinke lasso in de ruimte en haal hem daarna goed aan.
    Zou ik er daardoor een punt van kunnen maken ??? en die er maar meteen achter zetten.
    Of begrijp ik het nu echt verkeerd ;-) en zit er toch geen gat in mijn hersens :-)

  9. 15

    Hieronder een nog simpelere uitleg van het vermoeden van Poincaré.

    Voorbeeld:

    Wiskundigen kunnen met een simpele formule de oppervlakte van een bol, bijvoorbeeld van een voetbal berekenen. (De formule hiervoor is 4 π r²)

    Het berekenen van de oppervlakte van bijvoorbeeld een kip is een stuk lastiger. Daar zijn geen vaste formules voor.

    In 1904 al had de wiskundige Poincaré het vermoeden dat wanneer de kip van kneedbare klei zou zijn, en je de kip zou kleien tot een mooie ronde bol, de oppervlakte van die bol gelijk is aan de oppervlakte van de kip.

    Perelman heeft nu bewezen dat dit zo is. Met behulp van wiskundige formules kan nu iedere geweste vorm (zolang er geen gat in zit)worden teruggerekend naar een bol.

    Als er in het voorwerp een gat zit ‘moet er een donut van worden gekleid. De oppervlakte van een donutvorm kan ook weer met standaardformules worden uitgerekend.

    Dit is natuurlijk veel te simpel uitgelegd en wat Perelman gepresteerd heeft bereikt de grenzen van de menselijke geest. De maatschappelijke relevantie is moeilijk te beoordelen. Die ontgaat de meeste van ons ook als het gaat om bijvoorbeeld de relativiteitstheorie. Dat betekent niet dat het maatschappelijk niet relevant zal zijn.

  10. 16

    @Bert: Volgens mij is jouw uitleg onjuist:

    Neem een kubus van 2x2x2 meter. De inhoud is dan 8 m^3, de oppervlakte is 24 m^2.

    Laten we daar eens een bol van kneden. Deze zal uiteraard dezelfde inhoud moeten hebben. Dit bereik je met een bol met een straal van ongeveer 1.24 meter. Als we jouw oppervlakteformule daarop toepassen krijg je een oppervlakte 19,3 m^2.

    En 19,3 is niet 24.

    Dus of jij zit fout, of perelman zit fout. :-)

  11. 17

    Bert en Spuyt, het lijkt dat jullie beiden het niet helemaal begrepen hebben.

    Het Vermoeden heeft helemaal niets met oppervlakte en inhoud te maken. Het ging erom te onderscheiden welke vormen terug kunnen worden gebracht tot een bol omdat ze geen gat(en) hebben.

  12. 18

    @TT: Waarom heb ik het niet begrepen?

    Ik corrigeer Bert toch (inhoudelijk)?

    Ik bedoelde met mijn uitleg dat als Bert gelijk zou hebben, en Perelmans werk daarover ging, Perelman het fout zou hebben.

    Tsk, twijfelen aan mij capaciteiten… ;-)

  13. 21

    Het begrip oppervlakte:
    Op school (heel lang geleden) heb ik eens een weddenschap gewonnen van mijn leraar.
    Ik kreeg niets maar had m.i. wel gelijk.
    Ik bewees hem dat de oppervlakte van een 1 cm2 (waarom ctrl/shift/+/ en 2[supersccript] het niet) tekenpapier meer dan 1 cm2 is door hem een loep te geven en hem op het reliëf te wijzen.

  14. 22

    @Henk, je had ongelijk. Althans, je hield je leraar voor de gek.

    1 cm2 tekenpapier blijft 1 cm2 tekenpapier. De zijden van het vierkantje waren dan waarschijnlijk wel iets minder dan 1 cm.

  15. 23

    @ Spuyt 12.
    Als ik het oppervlak van gladde metalen plaat van 1 m2 moet schilderen heb ik minder verf nodig dan voor een golfplaat van 1m2 :-)
    en het aantal cm2 is in het laatste geval beduidend meer.
    Zo’n beetje het idee van grond meten in Frankrijk:
    Je betaald de basis maar krijgt bij een helling van 15% meer viekante meters per ha dan bij een helling van 5%
    Maar wat is nu de oppervlakte ;-).

  16. 24

    Ik snap wat je bedoelt, maar je zei tegen je leraar dat een stuk papier van 1 m2 meer oppervlak heeft dan 1 m2. En dat kan niet :-)

    Ik snap je beweegreden wel.

    Als je had gezegd dat een stuk papier van 1 meter bij 1 meter meer dan 1 m2 opp. heeft, dan was het correct.

  17. 25

    @ Spuyt 12
    Ik was wat slordig in mijn verhaal(en had het over cm):
    Ten tijde dat ik dat geval met de leraar “besprak” had ik het over een stukje 1 cm lang en een 1 cm breed en beweerde dat het oppervlak meer dan 1 cm2 was.
    Heb je toevallig de juiste definitie over oppervlakte paraat??

  18. 29

    Dat zijn de formules!!
    Ik bedoel zoiets als dit: ” A portion of space having length and breadth but no thickness”, {Van dale komt ook niet verder dan (vlak dat iets naar boven begrenst)} maar dan anders en in het Nederlands want anders had mijn leraar gelijk ;-) en kan ik een veelvoud van deze voor mijn stukje reliëf tekenpapier niet gebruiken. Genoeg geOH over een “niet onderwerp” :-).