Hoe het driedeurenprobleem mij tot waanzin drijft

Het driedeurenprobleem drijft mij tot waanzin. Niet een klein beetje waanzin, maar waanzin waarbij  ik mij schuimbekkend gillend de haren uit de kop wil trekken. Daarom wil ik er nooit aan denken. Je hebt een boel mensen, zoals blogger Bob de Duitser, die dat niet hebben, die het vatten en aanvaarden. Daar ligt het volgens mij ook in: in dat aanvaarden. Ik vertik het om het te aanvaarden. Ik schreeuw: ‘Maar als een alien binnen komt, die niet weet dat er een eerste deur open is gemaakt, dan is het toch 50/50 voor hém, en dus ook voor óns?’ Maar de logica van het driedeurenprobleem overrulet mij genadeloos.

Afgelopen week was het weer bingo met  de Nationale Wetenschapsquiz op tv. Vraag 6 (de goochelaar) had mij weer schreeuwend op het puntje van mijn stoel. ‘DAT  IS THEORIE! In de praktijk gaat het niet zo!’ Het deed me weer denken aan het driedeurenprobleem. Oei.

Ik zou willen dat ze die vraagstukken nou op miljoenen mensen zouden testen. Kijken of het werkt. Dat soort dingen.

Een paar dagen later, op de eerste dag van het nieuwe jaar, werd er om 9 uur ’s ochtends aangebeld. Welke idioot belt nou om 9 uur ’s ochtends op 1 januari bij mensen aan? Het bleek mijn oudste zoon te zijn, die terug kwam van een feestje en mij wou feliciteren. Zijn gezicht was versierd, als de moderne jonge krijger die hij is. Terwijl wij onze ramen slurpten (beste remedie tegen katers), kwam het gesprek al snel op het… jawel… driedeurenprobleem. Mijn zoon maakte korte metten met mijn ongeloof: mocht ik bewijzen dat de praktijk van het driedeurenprobleem, of van die vraag over de goochelaar, verschilde van de wiskundige oplossing, dan moest ik maar mijn gang gaan en het wereldkundig maken, ik zou terstond als een grote geest aangemerkt worden. Hij had wel een paar tips om de voorstelling van zaken wat makkelijker te maken:

1) de gamekeeper WEET achter welke deur de auto zit.
2) stel je het probleem voor met honderd deuren in plaats van drie.

Het werkt! Dat eerste deed het al. Dát was het gegeven dat ik over het hoofd zag, al is het een van de vaste parameters van het vraagstuk. Mijn alien die binnenkwam en van niets wist kan daardoor niet opgevoerd, want er is een situatie vooraf, die niet willekeurig is. De gamekeeper die de deuren opent, wéét achter welke deur de auto staat, en opent daarom alleen deuren met geiten.

Als er honderd deuren zouden zijn, en je kiest er één, dan heb je 1/100 kans dat de auto erachter staat. Als de gamekeeper 98 overige deuren opende waarachter hij weet dat er slechts geiten staan, en hij laat er één dicht, moet je nou switchen?

  1. 3

    “1) de gamekeeper WEET achter welke deur de auto zit.”

    Hij zal die deur nooit openen EN hij opent ook nooit de deur die jij in eerste instantie gekozen hebt. Dat zijn de belangrijke ingredienten waarmee je de juiste oplossing kunt vinden en helaas worden die twee ingredienten niet altijd vermeld bij de probleemstelling.

    Dat verschillende wezens kansen verschillend berekenen is niet raar: de deelnemer aan de spelshow heeft meer informatie dan de alien en kan dus ook een betere voorspelling doen. De alien krijgt feitelijk ongelijk als je het experiment 1000 keer herhaald maar zijn voorspelling was wel de minst slechte die je kunt doen met de informatie die beschikbaar was voor de alien, hij heeft dus wel rationeel gedacht. Dat mensen dat laatste niet inzien is weer een heel ander onderwerp dat je bv. terugziet op de beurs: een handelaar neemt een enorm risico en als hij winst maakt zegt iedereen dat de critici ongelijk hadden omdat de handelaar “toch duidelijk de juiste keuze heeft gemaakt”, als hij verliest vindt iedereen hem dom omdat hij “toch duidelijk te grote risico’s neemt”, uiteindelijk onthouden we vooral dat ene succesverhaal en vergeten we de 99 anderen die verloren en viola, na drie keer geluk hebben heb je “bewezen” dat je een “talent” hebt voor aandelenhandel, terwijl je winning streak eigenlijk helemaal niet onopvallend is in een grote populatie van beurshandelaren (je hebt een kans van 1 op 7776 om 5 keer achter elkaar een 6 te gooien bij het dobbelen, lijkt weinig, maar als er 10.000 mensen meedobbelen is het helemaal niet zo opmerkelijk dat er regelmatig iemand 5 keer achter elkaar een 6 gooit.)

  2. 4

    Ik gebruik overigens vaak een miljoen deuren bij het uitleggen. Je gelooft niet hoeveel mensen er zijn die bij honderd deuren nog steeds volhouden dat de kans 50/50 is. Bij een miljoen gaan mensen opeens wat abstracter nadenken ofzo.

  3. 6

    Ja, het is verstandig te wisselen

    — beter leren lezen, discard onderstaand was een pavlov reactie—
    Het is als volgt:

    1. Er zijn maar 2 scenario’s:
    – scenario A: Je hebt direct de goede deur te pakken. (33%)
    – scenario B: Je hebt direct één van de twee verkeerde deuren te pakken.(66%)

    2. Je kiest een willekeurige deur. 66% kans op fout, 33% kans op goed.

    3. De game host laat ALTIJD één deur zien waar NIKS achter zit.
    – scenario A: De eerste keuze is de goeie deur (33% kans) dan zal de game host 1 van de 2 lege deuren laten zien, jij wisselt van keus en zal dus verliezen. (Immers zijn beide andere deuren dan je eerste keus leeg)

    – scenario B: De eerste keuze is één foute deur (66% kans), dan zal de game host de ANDERE lege deur laten zien, jij wisselt en zal dus winnen.

  4. 7

    @0 Huh? Hoe kun je nou tot waanzin gedreven raken door dit soort geinige statistische raadseltjes? Dat je intuïtief het foute antwoord geeft kan ik begrijpen, maar als je dan het antwoord leest dan is het toch duidelijk dat je het mis had, zelfs als je het antwoord niet meteen helemaal begrijpt? Het is toch niet zo gek dat je intuïtie een fout antwoord geeft? Dat komt toch wel vaker voor? Je weet toch dat je niet je op je intuïtie kunt vertrouwen in dit soort dingen?

    Mij zijn echt van de niet begrijpende!

  5. 8

    Door het wisslen ontstaat dit scenario: als je aanvankelijk een geit koos, win je de auto, maar als je eerst de auto aanwees, krijg je een geit. De kansen van je eerste keuze keren dus om naar 2/3.

  6. 10

    Probleem is ons (statistiek)onderwijs: kans is geen eigenschap van de fysieke wereld maar van onze informatie over de wererd. (frequentialisme versus Bayesiaanse statistiek)

  7. 11

    @8:

    Dat is niet de volledige verklaring, met jouw uitleg zou de kans op een auto 50/50 moeten zijn, precies zoals de alien zou beredeneren. Je komt er niet uit tenzij je weet dat de spelleider nooit de deur zal openen die in eerste instantie is aangewezen en jij weet welke deur dat was.

    P.S. er wordt wel enige verwarring gezaaid door het een wisselprobleem te noemen, het is veel handiger (en voor de alien ook de enige keuze) om het als een raadprobleem te zien (dus “achter welke deur zit de auto?” ipv. “moet ik wisselen?”).

  8. 12

    @10:

    Breek me de bek niet open… Zeker op de universiteit zou ieder vak statistiek een stukje over Bayesiaanse statistiek moeten bevatten en ook op de middelbare school zouden eenvoudige voorbeelden, zoals, Lindley’s paradox (uitgelegd aan de hand van het standaard “medische test met 1% kans op false positives en false negatives, bij een ziekte die maar 1 op de 1000 mensen treft” verhaal), vermeld moeten worden, nu heb je psychologen, artsen en rechters die niet eens weten wat een prior is en dat die niet altijd flat hoeft te zijn. Dat is overigens niet uniek aan Nederland, het is een wereldwijd probleem.

  9. 14

    @11: De omschrijving van het probleem in de gegeven link stelt ook dat de presentator een andere deur kiest met een geit erachter. Dat is nuttige kennis, want nu kun je er op gokken dat je aanvankelijke keuze fout was, en die kans is 2/3.

  10. 15

    @14:

    Als jij deur A kiest en de prijs staat daarachter dan kan de spelleider keizen om deur B of deur C open te doen, als de prijs achter deur B staat kiest hij volgens de 2 regels (ingredienten), zie @2 altijd voor deur C, je weet dus dat een geopende deur C twee keer zo vaak wijst op een prijs achter deur B dan op een rpijs achter deur A, je weet ook dat de totale kans moet optellen tot 1, dus 2/3 voor B en 1/3 voor A. Je komt niet op hetzelfde resultaat uit als er geen regel is dat de spelleider nooit de deur die jij als eerste kiest zal openen (in dit vorobeeld is dat deur A).

  11. 16

    Wisselen is verstandig. Beide situaties zien er voor de speler hetzelfde uit. Deze situaties zijn:

    (1) goed geraden, een van de twee andere deuren wordt geopend.
    (2) fout geraden, de nog overblijvende foute deur wordt geopend.

    In situatie 1, waar de kans 1/3 op is, is de kans op winst na wisseling 0. De totaalkans is hier 0

    In situatie 2, waarop de kans 2/3 is, is de kans op winst na wisseling 1. De totaalkans is hier 2/3

    Optellen van beide kansen na wisseling levert een winstkans van 2/3 op. Volgens de complementsregel levert dan niet wisselen een winstkans van 1/3 op.

  12. 17

    @12: We zouden ook verplicht de wetenschapsquiz kunnen kijken:

    Vraag 13: Voor een ziekte waar 1 op de 1000 mensen aan lijdt, is een 99% betrouwbare test ontwikkeld. Wat is de kans dat je ook echt ziek bent als de test dat uitwijst?

    antwoord

  13. 18

    @mark3000: Er zijn heel veel testen die geen gelijkwaardige foutmarge hebben. Oftewel, als de test X uitwijst is de kans dat je het hebt 100%, maar als de test X niet uitwijst, is er nog steeds een kans van Y% dat je het toch hebt.

    Bastards.

  14. 20

    @19: Een goede vereenvoudiging van het probleem, door, in tegenstelling tot normaal, de aantallen te vergroten i.pv. te verkleinen. Doordat de kans, dat je in de eerste ronde de goede deur raadt, klein is, is de kans dat de ene deur, die dicht blijft, de auto bevat, levensgroot.

    De opgevoerde alien heeft overigens een kans van 50%, omdat hij niet weet, of hij een wisseling maakt. Dat weet de oorspronkelijke kandidaat wel. Voor de alien maakt het dus niet uit, welke deur hij aanwijst, waardoor die wel een kans van 50% heeft.