WW: Oninteressante getallen / GC-stukjes

De woensdagmiddag is op GeenCommentaar Wondere Woensdagmiddag. Met extra aandacht voor de nieuwste ontwikkelingen in Wetenschap- en Techniekland.

Twee superboeiende getallen (Foto Flickr/Richard-G)

Als GC redactieleden doen we onze best om zoveel mogelijk interessante stukjes te schrijven. Maar natuurlijk zal er ook af en toe een minder interessant, ja wellicht zelfs één of twee oninteressante artikeltje in ons ondertussen gigantische archief rondzweven. Maar hoe kunnen we te weten komen of dit zo is? Om vragen van een dusdanig fundamentele aard te kunnen beantwoorden wenden wij ons uiteraard tot de wiskunde, en dan specifieker op de getallenleer met de vraag: bestaan oninteressante getallen?

Om deze vraag te beantwoorden moet eerst een betere beschrijving voor het begrip ‘interessant’ gevonden worden. Iedereen vindt natuurlijk priemgetallen razend interessant, maar daarmee blijven nog een hele hoop potentieel saaie nummers over. Dan heb je nog een handjevol perfecte getallen (gelijk aan de optelsom van hun delers, als in 6 = 1 + 2 + 3). Verder zijn er nog gebrekkige getallen (de som der delen is kleiner dan het verdubbelde getal), Kaprekargetallen (optelsom van de gesplitste delen van het kwadraat is gelijk aan dat getal) en Costergetallen (een geheel getal dat je met +, -, : en x kunt maken uit zijn eigen cijfers, waarbij elke cijfer precies twee keer wordt gebruikt).

Gelukkig zijn er mensen die lijsten aanleggen van interessante getallen, zoals David Wells’ “The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers“, met daarin onder andere 74, 75, 78, 80, 82, 83, 86, 87, … Maar andere lijstenmakers komen tot andere conclusies zoals Robert Munafo in zijn “Notable Properties of Specific Numbers“: 76, 79, 80, 81, 83, 85, 87, … En zelfs met meta-lijstmakers komen we niet veel verder. Vaak zijn op het oog oninteressante getallen stiekem toch interessant. Zo vraagt een hoofdpersoon in Neal Stephenson’s roman “Cryptonomicon” of het nummer van de supergeheime eenheid 2701 verandert kan worden in 2702 omdat de knappe koppen bij de vijand wel eens door zouden kunnen hebben dat 2701 het product van twee priemgetallen is (welke, dat is een open vraag voor de lezer dezes).

Langzamerhand raken de potentieel oninteressante nummers op. Op naar het wiskundige bewijs dan maar. Daar stuiten we op een probleem, want we kunnen wiskundig bewijzen dat er helemaal geen oninteressante getallen bestaan en wel met een bewijs uit het ongerijmde:

Stel dat er wel oninteressante getallen bestaan, dan is er dus een kleinste oninteressante getal. Maar dat getal is per definitie interessant omdat het die -toch ontegenzeggelijk interessante- eigenschap heeft. Dit leidt tot een contradictie, waardoor we de premisse moeten verwerpen: er bestaan geen oninteressante getallen.

Analoog aan dit bewijs kunnen we de geruststellende conclusie trekken dat er ook geen oninteressante stukjes op GC verschijnen. Stel dat dat wel zo was, dan zou er een allereerste oninteressant GC-stuk bestaan, en die is juist daarom zo interessant. Een tegenstelling volgt, ergo alle GC stukjes zijn interessant. Hoera voor zelfreferentie!

  1. 1

    Uit bovenstaande volgt dus eigenlijk dat alles wat bestaat (van zichzelf of verzonnen / bedacht) altijd interessant is.
    Veel daarvan wordt te snel afgefakkeld als ‘boeiend’. Een modeterm, die meestal veel zegt over de gebruiker van die term.

    Al die verwijzingen naar getallenlijsten tonen in ieder geval aan dat zo iets triviaals als een getal, op zijn minst leuk te maken is, als je ermee aan de slag gaat.
    Waarmee ik behoor tot het magische ‘1 op de 4’.

  2. 3

    @2: ah, dat wist ik weer niet, maar ik heb het boek ook nog niet uit :)

    @1: Kijk, bovenstaande is natuurlijk half serieus, maar het geeft wel een goede introductie in de wiskundige problemen die ontstaan door zelfreferentie. Dit is een fundamenteel probleem, dat geleid heeft tot Godel’s onvolledigheidsstellingen [1] die een niet te onderkennen impact hebben gehad op de wiskunde en filosofie.

    [1] http://nl.wikipedia.org/wiki/Onvolledigheidsstellingen_van_G%C3%B6del