Weekendquote | Rekenen?

Het leren van wiskunde betekent op een bepaalde manier met elkaar communiceren in een bepaalde taal…..
De Maori’s hebben een andere wiskunde dan wij omdat ze een andere taal spreken. Ze spreken Maori-taal en hebben Maori-wiskunde.

Aldus Dolly van Eerde van het Freudenthal Instituut tijdens een congres over wiskunde in het onderwijs (via de Volkskrant, maar die snapt 2.0 nog niet).
En in één klap was me duidelijk waarom het wiskunde-onderwijs in Nederland langzaam maar heel zeker in het moeras zakt. Wiskunde is niet afhankelijk van taal, punt.

  1. 2

    Het Freudenthal Instituut heeft anders wel een eigen wiskunde. Realistisch rekenen heet dat, en daar zit een sterk talige factor in. Waardoor sommige kinderen op sommige scholen tegenwoordig niet meer 1 plus 1 is twee leren, maar 1 erbij 1 is twee. En daarmee begint de ellende pas.

    Maar enfin, de grote fout van het fabrieksmatig opgezette onderwijs, zoals Nederland dit kent, is dat altijd methoden altijd in zijn geheel vervangen worden door andere methoden. Terwijl geen enkele leermethode bij elk kind even goed aanslaat. En wat een kind kan verwerken aan abstractie, is voor het Freudenthal Instituut irrelevant.

  2. 3

    Wiskunde is taal. Dus misschien zegt Dolly wel wat zinnigs. Maar zonder een volkskrant is het moeilijk verder wat zinnigs te zeggen over de toekomst van het Nederlandse wiskunde onderwijs.

  3. 5

    @2: het probleem wat ik met het type sommetjes van het FI heb is dat het hondsmoeilijk is om te achterhalen wat nu precies de bedoeling is van het sommetje. ‘(1+1)/2=..’ is eenduidig. Bij ‘jantje en marietje hebben allebei een knikker, hoeveel knikkers hebben ze per persoon’ zit nog een extra vertaalslag.

  4. 6

    Ik las ook laatst ergens dat er steeds meer meisjes doorstromen naar de universiteit (en het HBO) en steeds minder jongens; zelfs in de exactere vakken, wat van oudsher toch als een mannelijk-iets wordt beschouwd. Wellicht dat het onderwijs in Nederland tegenwoordig gewoon meer gericht is op vrouwen; het vaak werken in groepjes, SLB, reflectieverslagen, etc,etc. Er wordt meer gekeken naar het proces van leren dan naar de inhoud van leren. Nu wil ik niet zeggen dat vrouwen minder goed zijn in de werkelijke materie ik wil alleen zeggen dat mannen buiten de boot vallen wanneer het aankomt op zulke zaken.

  5. 8

    @7: Wat ben jij een zure misogyne zeikert zeg.

    Als iemand die daadwerkelijk nog in het hoger onderwijs studeert: ik werk liever samen met een vrouw die 1). niet twee uur te laat komt voor elke afspraak 2). die zich daadwerkelijk aan deadlines houdt 3). niet bij elke groepsdiscussie op hoge toon beweert dat de docent het mis heeft. Bovenstaande is typisch het gedrag van jonge mannen (18-22).

    Toen het gros van het hoger opgeleid werk bestond uit ondergeschikten vertellen wat ze moeten doen – advocaten, artsen, hoge ambtenaren – kon je daar nog mee wegkomen. In een competitive diensnteneconomie is het daadwerkelijk tevreden stellen van de consument belangrijker. En dan is op tijd komen, luisteren ipv dicteren en je aan gemaakte afspraken houden opeens een stuk belangrijker.

  6. 9

    “Waarom wiskunde het moeras inzakt..”?

    Nu zal je me toch moeten uitleggen, Steeph: wanneer was ’t wiskunde op het droge?

    Studenten leren nu vaak meer beredeneren en bewijzen dan vroeger. Of wil je vijftig vergelijkingen en staartdelingen maken zonder dat je er iets mee doet?

    Ik heb dikwijls met het Freudenthal Instituut (verbonden aan de Universiteit Utrecht) gesproken en kan niet anders concluderen dan dat ze veel goeds doen / beweren.

  7. 10

    @8 Als voormalig docent op een HBO-instelling met 87% vrouwelijke studenten kan ik je melden dat de bevindingen waarop je je mening baseert geen enkele basis in de werkelijkheid hebben:

    ad 1) Studentes komen net zo vaak te laat
    ad 2) Studentes houden zich slechts bij hoge uitzondering aan deadlines
    ad 3) Studentes discussiëren net zo slecht als hun mannelijke medestudenten

    Vul voor de opmerking over typisch jongemannengedrag “marokkanengedrag” in en de kwaliteit van je post wordt glashelder.

  8. 12

    En is de implicatie van je post dat de dienstverlening er de afgelopen pakweg 10 jaar op is vooruitgegaan?!?

    Dan valt er nog heel wat te studeren in het hoger onderwijs, of heb je nog nooit met de IB-groep te maken gehad :)

  9. 13

    @Thomas #11: Ten eerste heb ik altijd begrepen dat aan dat onderzoek alleen scholen meedoen op basis van vrijwilligheid (dus de goede). Ten tweede zegt dat onderzoek me niet zoveel. Het kan immers zijn dat in andere landen het niveau net zo snel daalt :-)

    @Thomas #9: Ja, het is nuttig vijftig vergelijkingen en tientallen staartdelingen te doen. Ik kom nu mensen op mijn werk tegen (stuk jonger dan ik, met een beta studie nota bene) die een simpele kostencalculatie niet meer kunnen volgen.
    Ik moet er niet aan denken dat deze mensen verantwoordelijk zijn voor het uitrekenen van de draagkracht van een brug of het bouwen van een vliegtuig.

  10. 15

    @8/JSK: En wat ben jij een vervelend betweterig kereltje.

    Ten eerste mis je het punt totaal: wiskunde is niet iets waar over te ‘onderhandelen’ of ‘plannen’ valt. 1+1=2, en niet 3, of 0, omdat pietje of marietje dat beter uitkomt.

    ad 1/2): ‘we zijn zo druk bezig met navelstaren en groepsbevestingssessies dat we geen tijd hebben voor klanten; dat kunnen we er echt niet bijhebben. Kan daar niet iemand voor worden aangenomen?’
    ad 3): natuurlijk is de baas een gemene lul om deadlines te stellen voor een veel te moeilijke opdracht.

    Oh, en als je respect af weet te dwingen (doordat je weet waar je ’t over hebt) dan zul je met jongens geen moeite hebben, en dan zullen ze ook niet beweren ‘dat je het mis hebt’. Als je dat niet kunt, tsja….

  11. 18

    “Ze spreken Maori-taal en hebben Maori-wiskunde.”

    Ik wil dan ook graag voorbeelden zien van die Maori wiskunde, voorbeelden van andere uitkomsten, etc.

    Wiskunde is zover ik weet nog altijd een formele, abstracte taal. Op mij komt dit dus over als iemand die beweert dat er persoons of groepsgebonden vormen van logica bestaan.

    En, zo vraag ik me nu af, zou het in Maori-gebieden misschien vierkant kunnen rollen

  12. 19

    Wat de 3de reactie hier al zegt: wiskunde is een taal. Een abstracte universele taal. De taal. Maar steeds minder hollanders spreken die taal. Dat kun je tellen ende becijferen. De F.I. moet worden afgeschaft. M.i. allemaal idioterie en pvda-knuffeldoctrine en verprutst belastinggeld. De wiskunde schoolboekjes van vroeger zijn prima. Mais bon, dat schrijf ik dan op een weblog dat statistiek heilig verklaart, in een land dat probeert van een democratie een theocratie te maken. Zucht. Leve de Chinezen.

    1+1=2. Maar als ik 1 (grote) appel heb en ik pak er 1 (kleine) appel bij, heb ik dan 2 appels? Of eerder 2 ‘eenheden appel’? En hoeveel ‘appel’ is dat eigenlijk? Wordt wiskunde zo ook natuurkunde en -nog erger- economie? Wil men zo kunnen besparen? Om aan de andere kant mensen die niet horen te studeren een studiekeuze kunnen bieden? Zucht. Leve de Chinezen.

  13. 20

    @18: Gewoonlijk komen dat soort dingen neer op een andere invulling van wat wiskunde is.

    Als ze bijvoorbeeld (nee, maar als voorbeeld) van oudsher op de vingers van één hand hadden geteld en daar een 5-tallig stelsel aan zouden hebben overgehouden dan zou je geneigd kunnen zijn te veronderstellen dat 24+33=112 betekent dat je met een andere “wiskunde” te maken hebt terwijl het niet meer dan een andere beschrijving van dezelfde is. Zoiets flauws zal het wel weer op neerkomen.

  14. 21

    En nogmaals, #19, wiskunde is GEEN taal. Alleen de beschrijving ervan is taal. De verhouding tussen de diameter van een cirkel en z’n omtrek is ook in de Andromeda nevel Pi, hoewel enig eventueel intelligent wezen aldaar het zeer zeker geen Pi zal noemen.

  15. 22

    @8: Met zulke vrouwen werk ik ook graag samen, zeker als ze ook nog bloedmooi zijn. Helaas zijn niet alle vrouwen zo.

    @21: Het is een nogal moeilijke discussie (te moeilijk voor mij in ieder geval). Mijn simpele gedachten: wat jij wiskunde noemt is geen wiskunde maar ‘de waarheid’. Deze waarheid wordt beschreven met de taal van de wiskunde. Onze wiskunde blijft toch een menselijk speeltje.

    @Sargasso: In de footer zit een klein wit pijltje mooi te zijn. Zou het niet mooi zijn als ik naar boven wordt bewogen zodra ik daar op klik?

  16. 23

    @13: Insgelijks met vierdejaars HLO-studenten die moeite hebben met het maken van verdunningen omdat ze niet goed kunnen rekenen met breuken (precies wat de PDF aangeeft.)

  17. 27

    @ 22, Bootvis:

    Bijna niemand weet wat wiskunde is. Als wellicht nuttige gedachtenbepaling: het is voor een (zuivere, niet technisch/toegepaste) wiskundige behoorlijk zeldzaam om een “echt getal” tegen te komen anders dan 0, 1, e en Pi (en i, de imaginaire eenheid). Gegeven een probleem gesteld in getallen zal een wiskundige ook direct proberen om de parameters te identificeren zodat ie ze gewoon a, b en c kan noemen in plaats van zo’n onzinnige cijferreeks. Zodat de resultaten van z’n beschouwingen waarde hebben voor een hele klasse van gelijksoortige problemen, maar ook gewoon als “wiskundige hygiëne”: getallen zijn een beetje vies op dezelfde manier als computers eigenlijk een beetje vieze dingen zijn. Wiskunde die je niet met pen en papier kan bedrijven is de naam “wiskunde” in feite niet waard volgens vele wiskundigen.

    Wiskunde gaat eigenlijk alleen over bewijzen, niet over numerieke resultaten. Over het onderzoeken van de uitgangspunten onder die resultaten via axiomatisering van de context en daarna minimalisering van het aantal axioma’s.

    Als mooi voorbeeld heeft men om en nabij 2000 jaar proberen te bewijzen dat Euclides’ 5e axioma (het parallelenpostulaat, dat zegt dat er door een punt niet op een gegeven lijn slechts één lijn gaat die de gegeven lijn niet snijdt) niet nodig was. Dat ‘ie afleidbaar was uit de andere 4, en daarmee dus als axioma (“grondstelling”, een stelling die als gegeven wordt genomen) afgeschaft kon worden. Dit is uiteindelijk niet gelukt, maar door de vele pogingen tot bewijs die veelal vanuit het ongerijmde vertrokken (“stel dat het niet zo is, dan…”) heeft men de non-Euclidische meetkunde uitgevonden: meetkundes waarin dat 5e postulaat niet geldig is en die verder toch geheel consistent en nuttig zijn. Hyperbolische meetkunde is een voorbeeld van niet-Euclidische meetkunde bijvoorbeeld die z’n toepassingen heeft binnen de wereld van de speciale relativiteitstheorie en op steeds kleinere oppervlakken steeds beter op “onze” Euclidische meetkunde gaat lijken. Als zodanig wellicht kan gelden als de echte meetkunde van ons universum, met onze Euclidische meetkunde een goede benadering op dezelfde manier als bijvoorbeeld Newton’s wetten goede benaderingen van meer algemene natuurwetten zijn.

    Dat is een resultaat dat enkel uit dat onderzoek van uitgangspunten is gekomen, en dat is wat wiskunde is. Het gaat over logisch consistente constructies, over weerlegbaarheid en onweerlegbaarheid, en als bijprodukt (…) nog over het aanreiken van gereedschappen aan de andere wetenschappen. Maar vooral niet over getallen, niet over de beschrijving van die wiskunde. Dus eigenlijk enkel over wat jij in bovenstaande dan “waarheid” noemt.

    Het is niet geheel onzinnig om dat als een te krappe definitie van wiskunde voor algemeen gebruik te beschouwen maar door bijvoorbeeld “rekenen” wiskunde toe noemen heb je wel het probleem dat je altijd dat uitzonderlijk significante verschil van opvatting over de aard van wiskunde houdt met hen die er meer van weten en dat is ook weer niet zo handig…

  18. 28

    Vraag blijft: wat wil je die kinderen leren?

    Vroegah moest je eerst eindeloos veel rekensommen maken om wiskunde à la Steeph te leren. Als er dan nog tijd overbleef, mocht je ‘vraagstukjes’ maken, ofwel à la FI leren hoe je een probleem omzet in een rekensom.

    Dat eerste was ongelofelijk saai en voor degenen die er slecht in waren erg frustrerend. Die kinderen kwamen nooit aan het tweede toe en kregen dus ook geen idee waaral dat saaie frustrerende werk goed voor was. Wat sneller mixen van de twee benaderingen lijkt me geen slecht idee.

  19. 29

    @28: Ik lijk zelf geen ervaring te hebben met het probleem dat je beschrijft. Het klinkt als principieel punt wel redelijk, maar ik herinner me van de lagere school toch al heel snelle menging met sommetjes van de vorm “een trein vertrekt uit A met B kilometer per uur en [ … ]”.

    Er volgt wellicht dat wij/mensen het niet eens eens zijn over het probleem, of zelfs of er een probleem is. Eens worden over een oplossing kon daarmee wel eens buiten bereik liggen…

  20. 30

    Volgens mijn ken je wiskunde toch wel zien als een “taal”.. Wel een taal die beperkt “betekenis” heb. Ik bedoel dat in de zin dat de wiskunde ( vanuit de semiotiek bezien) geen ontologische betekenis draagt. De proposities, de axioma’s en het bewijs maken van de wiskunde een coherent geheel, dus WAAR! Das bewezen namelijk..

    /bulshit modus off

  21. 31

    Uiteindelijk moeten we dan eerst “taal” gedefinieerd hebben en ik sluit niet uit dat we er één kunnen vinden waarmee we het aan elkaar gepraat krijgen. Maar het is wel zo dat ik in normaal spraakgebruik een uitspraak als “wiskunde is taal” enkel en alleen zou accepteren van iemand die er veel van snapt want bijna altijd is een uitspraak als dat niets meer dan onbegrip van wat wiskunde eigenlijk is.

  22. 33

    “taal” is een verzameling van “betekenisvolle tekens” en vormt een coherent geheel.. je ken wiskunde in dat licht als een “cijfermatige taal” beschouwen..

    zo moeilijk issut niet hoor ;-)

  23. 34

    @ sikbock: Ja, maar dat bedoel ik dus. Dan heb je het weer over de beschrijving van wiskunde. Er is niets cijfermatigs aan wiskunde zelf. Wiskunde gaat over “waarheid” (al dan niet in een wereld die ook buiten de wiskunde betekenis heeft).

  24. 36

    Over het begrip waarheid kan ik een hele boom opzetten maar dat zal ik niet doen..

    Om het (o.a. voor mijzelf) simpel te houden: de wiskunde wiskundig “beschrijven” is inderdaad onmogelijk. Dat is net zoiets als een foto van je eigen fototoestel maken en je hebt maar 1 camera tot je beschikking.

    Het feit dat je maar 1 fototoestel hebt zegt overigens niets over dat fototoestel zelf. Alleen wat je d’r mee kan en wat niet. Datzelfde geldt voor de wiskunde.. om de wiskunde te “begrijpen” ( niet om hem toe te passen) zul je een aggregatieniveau hoger moeten

  25. 39

    Wiskunde is zeker taal, alleen geen natuurlijke taal, maar een formele, symbolische taal.
    Het nut van wiskunde leren is nog niet eens zozeer de wiskunde zelf, maar dat men leert denken en redeneren volgens strenge normen in formele abstracte termen.
    Het toepassen hiervan op alledaagse situaties is vervolgens een heel belangrijke tweede stap.

    Natuurlijk kan het ook omgekeerd, zolang men maar niet de toepassing verward met de wiskunde zelf.

    at27: je verhaal geldt alleen voor de moderne wiskunde, tot in de 18e eeuw definieerde men wiskunde (inclusief algebra) wel degelijk als het bepalen of meten of vinden van groottes. Hiervan heb je dan de theoretische en de praktische vorm.

  26. 40

    @ jb:

    Daar staat tegenover dat tot in de 19e eeuw wiskundigen in feite vooral en primair natuurkundigen waren. Dat je, ondanks die referentie aan Euclides die ik zelf gebruikte, er in de huidige context helemaal niet moeilijk over hoeft te doen om wiskunde als zelfstandige discipline als relatief recente afsplitsing te beschouwen. Ja, ik weet hoe dat klinkt, in het licht van een der oudste wetenschappen, maar er zit meer in dan je op het eerste gezicht zou denken.

    Ik heb het inderdaad over de zelfstandige discipline Wiskunde en die gaat over alles wat ik betoogde. En is geen taal. Alleen z’n beschrijving is dat.

    Het aardige daarbij is dat wat jij “niet de wiskunde zelf” noemt ik juist de wiskunde zelf noem, en dus omgekeerd.

  27. 41

    Van: http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_joke

    An analyst, a pure mathematician, and a statistician apply for a job. The interviewer asks each of them the question “What is 1/3 multiplied by 3?” The analyst enters it into his calculator and replies that the answer is 0.9999999. The pure mathematician replies that the answer is obviously 1. Then, the statistician asks the interviewer “What do you want it to be?”

  28. 42

    hmmm? Wordt ’t nu een principekwestie? Laat ik dan maar snel zeggen dat de wiskunde alleen bestaat uit ZICHZELF en dat die zich alleen laat verklaren door ZICHZELF… vuige paupers die de naam van de wiskunde bezoedelen door die te associeren met taal dienen met PEK en VEREN de poort uitgedragen te worden!

  29. 43

    @ sikbock: Gewoon een oude scheuring in de wiskundige wereld tussen zij die Wiskunde formalistisch beschouwen, zoals ik, en zij die een meer toepassings-gerichte definitie aanhangen (die eersten zijn onder wiskundigen een stuk talrijker).

    Dus ja en nee, wat principe betreft. Er valt alleen (enigzins) zinnig over te discussiëren tussen mensen die weten waar het op rust echter, dus vandaar wat ik zei in #31. Ik gok dat jb weet waar het over gaat, dus gezegend zij zijn visie, maar jij mag het niet vinden ;-)

  30. 45

    Jeetje, `waarheid`, `alleen uit zichzelf te verklaren` en een lading boze mensen als men twijfelt aan hun dogma´s. Wiskunde lijkt wel een religie.

  31. 46

    Het wordt juist interessant zo.

    @40 Rene: historisch gezien is het inderdaad zo dat veel wiskunde voortgebracht is door natuurkundigen, of vanuit natuurkundige problemen of vragen. Echter tegelijkertijd wordt wiskunde al zo ongeveer sinds Euclides als zelfstandige discipline behandeld. Zowiezo in de 16e-18e eeuw (waar ik wat van af meen te weten).
    De arbeidsdeling over individuen is van recente datum.
    Met mijn nadruk op formele taal zit ik behoorlijk dicht bij een formalistische opvatting van wiskunde. Ik denk dat we moeten onderscheiden tussen beschrijvende sommen, versus formele sommen die om een numerieke uitkomst vragen en wiskundige bewijzen. Deze twee spelen in het onderwijs vooral een rol, en daarbij zijn beide van groot belang, maar zitten de formele sommen dichter bij de wiskunde zelf, omdat daarin strenger, formeler en abstracter geredeneerd wordt.s
    De wiskundige bewijzen doen altijd beroep op gronden die buiten de wiskundige formele taal zelf vallen, bijvoorbeeld logische redeneerstappen. De beschrijving van bewijzen doet doorgaans beroep op natuurlijke taal.

    Om terug te komen op de quote: ik vind het een hoogst misleidende uitdrukking om wiskunde te omschrijven in termen van communicatie. Het is veel te algemeen en nietszeggend en daarom trekt ze ook de verkeerde conclusie dat Maori’s met een andere taal ook een andere wiskunde hebben. Ze beschrijven in een andere taal dezelfde redeneerstappen, en dankzij de formele symbolische taal van de wiskunde is de Maori taal helemaal niet relevant voor de wiskundige waarheden zelf.
    Voor zover wiskunde een taal is, is het geen taal die zich net zo verhoudt tot andere talen als Nederlands tot Duits. Laten we zeggen dat ze een category mistake begaat (Ryle).

  32. 47

    Als iemand die daadwerkelijk nog in het hoger onderwijs studeert: ik werk liever samen met een vrouw die 1). niet twee uur te laat komt voor elke afspraak 2). die zich daadwerkelijk aan deadlines houdt 3). niet bij elke groepsdiscussie op hoge toon beweert dat de docent het mis heeft. Bovenstaande is typisch het gedrag van jonge mannen (18-22).

    Dan heb jij geluk, JSK. Overigens wel deels er mee eens hoor, maar ik kan me ook zeer wel vinden in het feit dat mannen meer moeite hebben met het huidige onderwijs, en dat overal een hobbyproject gemaakt van moet worden.

    Of misschien heb ik er minder moeite mee omdat ik bijna 30 ben.

  33. 48

    @ Furby:

    Welke boze mensen? Maar je commentaar op dit punt is grappig door het gebruik van de term dogma…

    Een wiskundige noemt “dogma” “axioma” en laat nu net mijn stelling zijn dat wiskunde bestaat uit het onderzoeken en minimaliseren daarvan. En ja, dat is wel erg één-dimensionaal gesteld (vooral al omdat het natuurlijk voorafgaand aan het onderzoek naar het model gaat over het opstellen van het model) maar hij voldoet even voor het punt dat ik kwijt wilde.

    In ieder geval geldt, zoals ik nu meerdere malen zei, dat ik er geen moeite mee heb als iemand die er iets vanaf weet een andere mening is toegedaan — het enige dat me deed/doet reageren op de stelling ‘wiskunde is taal’ (en niet eens zozeer in het artikel, maar in #3) is dat mensen die dat zeggen normaliter niet weten waar ze over praten omdat maar weinig mensen een idee hebben van wat wiskunde nu eigenlijk is. Niet als boos makend iets, maar als waardevrij gegeven.

    Ware dit een forum voor wiskundigen geweest, je had me niet gehoord maar dat het geen goede stelling is voor algemene consumptie is iets waar je zoals je in de laatste paragraaf van #46 kan lezen, jb en ik het over eens zijn. Iemand die de wiskunde een warm hart toedraagt voelt zich daarmee genoopt tot reageren. Maar boos ben ik, noch jb, noch sikbock, noch…

    (Dat is terzijde waarschijnlijk één van de grootste en voortdurendste misverstanden ter wereld en in ieder geval op dit forum — dat mensen die het niet op alle punten eens zijn het noodzakelijkerwijs op alle punten oneens zijn en strijd voeren. Die visie levert me toch een hoop onzinnige herrie op.)

  34. 49

    Ter mijn verdediging ik parafraseerde Edward Gaughan, de auteur van een (bekend?) analyse tekstboek, die er wel wat vanaf weet.

    Voor de wiskunde die geleerd wordt op scholen is ‘Wiskunde is taal’ helemaal geen gekke opmerking. Bijvoorbeeld: Er is een functie, die wordt beschreven met woorden en daar doe je dingen mee: plus een getal, verandering bepalen, oppervlakte berekenen, etc. Alles wat wordt geleerd is: dingen opschrijven door gebruik van symbolen en daar wat mee redeneren. Het is geen Frans of Duits maar wel een methode om te communiceren, een taal dus.

    In die zin zou ik niet willen zeggen dat het FI louter onzin verkondigt.

    Desalniettemin heel benieuwd naar de zogenaamde verschillen tussen de twee wiskundes.

  35. 50

    @ jb:

    Als ik begin met je laatste paragraaf van #46 dan zijn we er in principe wel uit: ik acht op dezelfde manier de stelling “wiskunde is taal” misleidend; daarmee enkel geschikt voor consumptie door mensen die expliciet weten op wat manier ‘ie eventueel waar is en dat is het enige wat me erop deed reageren.

    Wat daarna overblijft is de fundamentelere discussie en misschien is daar ten eerste nog sprake van enige begripsverwarring. Specifiek, moet ik in je zin:

    Ik denk dat we moeten onderscheiden tussen beschrijvende sommen [ … ]

    [ … ] versus formele sommen die om een numerieke uitkomst vragen en wiskundige bewijzen.

    die laatste “en” ook lezen als “versus”? Dat zou “numerieke uitkomst” linken aan “beschrijvende som” wat ik ook niet noodzakelijkerwijs voor de hand liggend vind, maar de andere mogelijkheid is het linken van “numerieke uitkomst” aan “wiskundige bewijzen” die wat mij betreft juist aan de tegenovergestelde uiteinden van het spectrum liggen. En dat is in feite het verschil van visie zoals ik ‘m zie.

    Ja, wiskunde bestaat al heel lang maar “zelfstandig” moet ik toch moeilijk over doen. Ik gebruikte zelf ook al Euclides als voorbeeld van echte wiskunde (of eigenlijk gebruikte ik het onderzoek naar zijn parallellenpostulaat als echte wiskunde) maar arbeidsdeling is niet waar het wat mij betreft om draait. Tot de 19e eeuw was Wiskunde toch vooral een collectie feiten en algoritmes (en in die zin een taal) met bovendien een basis in “de echte wereld”. Een bak gereedschap, niet beoordeeld op zijn intrinsieke waarde, maar op de waarde van de resultaten die je ermee kon bereiken. Dat is wat uiteindelijk in de 19e eeuw veranderd is en wat ik bedoel met zelfstandig. Geen beoordeling op de waarde alleen voor andere wetenschappen, maar ook en misschien vooral voor de eigen wetenschap. Als jij dus in #39 zegt:

    Het toepassen hiervan op alledaagse situaties is vervolgens een heel belangrijke tweede stap.

    beschouw ik dat voor de wiskunde zelf als “de oude visie” en één waar ik het expliciet mee oneens ben. De waarde van wiskunde bestaat niet uit haar toepassing, al was het maar omdat je van te voren vaak niet kunt weten welke toepassing het zal hebben. Getaltheorie en haar pas recente toepassing in de cryptografie het geijkte voorbeeld.

    Herlezend kun je daar ook gezegd hebben dat die toepassing een belangrijke tweede stap in het wiskunde onderwijs op lagere en eventueel middelbare school is, en als je dat zei trek ik alle bezwaar in.

    Maar voor de wiskunde zelf staat het bezwaar en is wat ik tegenovergesteld aan “formalistisch” noem. Waar jij zegt dat wiskundige bewijzen een beroep doen op gronden buiten de wiskundige formele taal ben ik dat met je eens, maar niet op gronden buiten de wiskunde waarmee al is aangetoond dat ik niet kan vinden dat wiskunde een taal is. Die logische redeneerstappen acht ik absoluut onderdeel van de wiskunde.

    Nou geldt natuurlijk dat je de hele (mathematische) logica juist als een taal kan beschouwen dus dit wordt wel een beetje geneuzel zo, maar op z’n minst zou Wiskunde dan de combinatie van meerdere talen zijn, niet “een taal”, wat mij betreft.

  36. 51

    @ Bootvis:

    Ik denk dat uit de lengte van m’n antwoorden enige betrokkenheid bij het idee kan worden afgeleid, maar deze kan korter:

    Ja, voor de wiskunde die geleerd wordt op scholen heb ik nadat die eerste stap van verwarring tussen beschrijving en onderliggende realiteit (die ik illustreerde met verschillende getalstelsels) uit de weg is geruimd geen echt bewaar meer tegen “wiskunde is taal”. Die wiskunde die je daar leert is immers vooral de collectie feiten en algoritmes die een beschrijving als taal goed mogelijk maken: je leert niet waarom Pythagoras zo is maar dat het zo is.

    Wiskunde op het niveau daarna echter draait juist om het waarom (de bewijzen) en, wederom enigzins buiten de technische/toegepaste hoek, nauwelijks om het wat. Dat is het grote verschil…

  37. 54

    @ stoethaspel:

    Ik denk dat die voorgaande reacties die je later zag daar op zich op ingaan, maar samengevat dus: omdat wiskunde wat mij betreft niet de taal (beter, niet alleen de taal) maar de onderliggende concepten die beschreven worden met die taal of zelfs het proces van haar constructie is.

    Altijd als een meisje/vrouw me probeert te vertellen dat wiskunde “ook maar een afspraak” is vraag ik of liefde ook ophoudt te bestaan als we de letters l, i, e, f en d uit het alfabet schrappen.

    Ik heb daar veel succes mee…

  38. 55

    Of wiskunde wel of niet een taal is, is een interesante discussie die ik met genoegen volg, maar zelfs als je Dolly van Eerde hier het voordeel van de twijfel geeft is de redenering bijzinder krakkemikkig.

    Ze stelt dat: “Het leren van X betekent op een bepaalde manier met elkaar communiceren in een bepaalde taal….. De Maori’s hebben een andere X dan wij omdat ze een andere taal spreken. Ze spreken Maori-taal en hebben Maori-X.” waar X=wiskunde. Als je dit vervangt door X=engels wordt duidelijk hoe krom de redenering is. Goed engels is goed engels, onafhankelijk van je moerstaal.

    Ik heb in de loop van de tijd samengewerkt in wiskundig onderzoek met Chinezen, Indiers, Amerikanen en Europeanen, die behoorlijk bedreven waren in zowel wiskunde als engels. Echter als ze fouten maakte in het engels, was de soort fouten merkbaar door hun moedertaal bepaald. Bij fouten in wiskundige afleidingen heb ik echter nooit een cultureel patroon kunnen ontdekken. Wijst dat er niet op dat het leren van wiskunde niet door je moedertaal beinvloed wordt? Dit wil matuurlijk nog niet zeggen dat socio-economische factoren geen invloed hebben, maar anders dan bij het leren van een vreemde (natuurlijke) taal, lijkt het mij niet aannemenlijk dat je moedertaal op zich zelf van invloed is op het leren van de wiskunde.

  39. 56

    Mee eens natuurlijk, maar ik weet ook niet echt of ze met Maori-taal nou zo heel letterlijk de natuurlijke taal van de Maori’s bedoelt of meer “een op veel gebieden andere communicatie en/of cultuur”. In het eerste geval had ze immers net zo goed zelf Engels (of Frans, Duits, …) kunnen nemen. Volkskrant artikel niet beschikbaar…

  40. 57

    @50: Het ging mij bij het belang van de tweede stap inderdaad om de didactische situatie. Momenteel dreigt op scholen dat een en ander alleen nog maar via ‘trucjes’ en verhaaltjes benadert wordt. Het formele karakter verdwijnt dan onder het tapijt terwijl wiskunde juist dankzij dit karakter een erg belangrijke rol kan spelen om helder en abstract te leren denken en redeneren.

    Ik moet er nog wat over nadenken, maar ik denk dat er inderdaad wat inzit in je punt over de zelfstandigheid van wiskunde. Inderdaad werd in ieder geval t/m de 18e eeuw het nut en de waarde van wiskunde altijd buiten de wiskunde zelf gezocht. Kun je een exemplarisch voorbeeld noemen waar dit verandert?

    Die logische redeneerstappen acht ik absoluut onderdeel van de wiskunde.

    De logische redeneerstappen zijn op zich niet wiskundig van aard, dezelfde stappen kunnen ook op andere domeinen genomen worden. Dat deze stappen sinds Russel binnen de mathematische logica op wiskundige wijze uitgedrukt kunnen worden, doet daar niks vanaf. Hoewel, nu hanteer ik misschien een oud concept van wiskunde waarbij wiskunde altijd op een of andere manier aan kwantiteiten gekoppeld is. Dat krijg je als je als je promotieonderwerp zich tussen 1700 en 1850 bevindt ;)

    omdat wiskunde wat mij betreft niet de taal (beter, niet alleen de taal) maar de onderliggende concepten die beschreven worden met die taal of zelfs het proces van haar constructie is.

    Bedoel je met dit laatste dat je een intuitionistisch constructivistische opvatting van wiskunde huldigt? Wereldwijd gezien niet de meest algemene en afkomstig van Nederlandse bodem, maar wel een bijzonder interessante opvatting.

  41. 59

    @ jb:

    Het didactische punt zijn we het wel over eens. Ik ben meteen geneigd daar weer een boompje over minder angst om ook in het onderwijs onderscheid te maken op basis van sekse aan te koppelen, maar nu maar eens even niet…

    Ik denk dat het begin van groepentheorie (en meer algemeen, abstracte algebra) het beste punt is om een lijn te trekken:

    http://en.wikipedia.org/wiki/History_of_group_theory

    Groepen zijn natuurlijk echt wiskundige concepten, met toepassing in het systematiseren van wiskunde zelf, maar niet in het (direct) toepasbaar zijn in andere wetenschappen. De ontwikkeling daarvan is wat mij betreft fundamenteel in de overgang naar een zelfstandige discipline.

    Via het Erlangen Program is ook de niet-Euclidische meetkunde aan groepentheorie gekoppeld maar die kun je ook losstaand beschouwen hierin. Ik noemde het eerder al als voorbeeld van “echte wiskunde” in de zin dat zowel haar motivatie (het parallellenpostulaat) als de uiteindelijke ontwikkeling ervan wiskundig van aard waren. Ik vind dat zelf één van de mooiere voorbeelden maar voor een fundamenteel zelfstandige wiskunde is groepentheorie wel het beste voorbeeld vermoed ik.

    “Dat deze stappen sinds Russel binnen de mathematische logica op wiskundige wijze uitgedrukt kunnen worden, doet daar niks vanaf.”

    Die liet je zelf al volgen door de constatering dat dat een hint van circulaire bewijsvoering in zich kon dragen en met dat laatste ben ik dus volledig eens :)

    Ik kan niet anders dan mathematische logica als pure wiskunde beschouwen. Het feit dat 2 = 3 absoluut en volstrekt waar kan zijn zolang maar geldt dat 1 = 2, met “waarheid” gedefinieerd als “datgene dat uit de voorwaarden bewezen kan worden”. Dat onderzoek naar voorwaarden, inzicht in en begrip van de condities waaronder iets geldt, en het minimaliseren daarvan in steeds algemenere concepten of constructies die de oorspronkelijk motiverende constructies tot speciale gevallen degraderen vind ik de essentie van wiskunde. Of van haar voortgang toch in ieder geval.

    “Bedoel je met dit laatste dat je een intuitionistisch constructivistische opvatting van wiskunde huldigt?”

    Nee. In feite het tegendeel dus wellicht moet ik oppassen dat ik niet warrig formuleer of teveel persoonlijke definities hanteer maar in ieder geval “constructivistisch” begrijp ik in de gebruikelijke zin van het nodig hebben van een voorbeeld voordat het aanvaard kan worden als realiteit. Dat is wat mij betreft een vorm van toegepastheid die ik juist verwerp. Mathematische realiteiten staan op zich, zijn niet afhankelijk van “concrete resultaten”. Ik ben daarmee gewoon een saaie meerderheids-formalist, (die ook zeer zeker de wet van de onbestaande derde omhelst).

    Als het goed is licht de vorige paragraaf over “essentie van” nog nader toe wat ik met die zin bedoelde.

  42. 60

    De betrekking: Taal / wiskunde / MAORI is ter discussie gesteld. Mijn (eerste) bijdrage daaraan is de verstrekking van onderstaande gegevens. Ter (re)oriëntering van het debat.

    Onderwijs. Sedert 1961 krijgt het Maori onderwijs bijzondere aandacht van de regering. ’t Is zowat vergeefs. In 1982 verliet 67% of meer van de Maori schoolverlaters het staatsonderwijssysteem zonder diploma, tegenover 27% à 28 % van de NwZ-allochtone bevolking. Engels en wiskunde = nadenken, zijn voor de Maori de grote struikelblokken¬.

    Economie. In 1981 bevond zich ongeveer 3% van de Maori in de hogere beroepen van NwZ; van de hele bevolking zat daar 16,5% (?) in. In 1986 was 30% van de Maori werkloos tegen 10% van de non-Maori bevolking. De Maori vergaat het relatief steeds slechter. ‘They have beco¬me’, merkt Sorrenson op (op. cit. p. 345), ‘a brown proletariat.’

    Misdaad. 1979: Van de gevangenisbevolking is 50 procent Maori (discriminatie of ‘muru’?). De urbane jeugd leeft bij voorkeur in ‘gangs’ zoals de Mongrel Mob en de Black Power. Rugby, bier en ‘racing’ hebben hun grootste belangstelling en ze zijn verslaafd aan de popcultuur.

    Bron: Sorrenson, M.P.K, bij Sinclair Ed., p. 340); de rest ben ik kwijt.

  43. 61

    @Rene

    Inderdaad lijkt groepentheorie te laten zien hoe wiskunde zelfstandig wordt, daarnaast misschien ook in de ontwikkeling van de niet-euclidische meetkunde. Vanuit historisch oogpunt is het interessant om uit te zoeken wanneer men dat ook zelf door begon te krijgen. Het heeft namelijk grote consequenties voor hoe je wiskunde als vakgebied definieert.

    Interessant is in dit verband jouw formulering:
    [em]
    Dat onderzoek naar voorwaarden, inzicht in en begrip van de condities waaronder iets geldt, […] vind ik de essentie van wiskunde
    [/em]

    Dit lijkt verdacht veel op hoe men traditioneel logica definieert. Logica werd voor Russel zeker niet als onderdeel van de wiskunde gezien. Mijn stelling is dat de logica alleen dankzij de formalisering in een symbolische taal als propositie en predikatenlogica als wiskunde (in de moderne zin van het woord) beschouwd kan worden. Daarmee is het strikt genomen echter zijn traditionele band met ‘redeneren’ en ‘wetten van het verstand’ kwijt geraakt.

    Interessant is in dit verband de zin die je er direct op laat volgen:
    [em]
    Of van haar voortgang toch in ieder geval.
    [/em]
    Dat is nu namelijk precies het verschil met de traditie. In de traditie zorgde de logica (te onderscheiden van de wiskunde) voor de voortgang in het vakgebied van de wiskunde die over quantiteiten gaat.

    Overigens: ik denk dat je termen als constructie en proces moet vermijden, die zijn verwarrend zoals je zelf al aangeeft en kan ik moeilijk rijmen met de overige uitspraken (vandaar mijn vraag over constructivistisch intuitionisme).

    Zowiezo bedankt voor de interessante discussie!

  44. 62

    Dito dank. Voor mij is de geschiedenis van de Wiskunde niet echt een primaire interesse, maar wat ik in ieder geval uit de discussie haal is dat het constructivisme (weer) op m’n radar is verschenen als iets wat ik toch graag nog eens beter onderbouwd wil kunnen afwijzen…

    “Constructie” zoals in bovenstaande kan ik, denk ik, beter (consequenter) “concept” noemen. “Proces” heb ik nog geen goede vervanger voor, en wellicht inderdaad dat het intuïtionisme me daar aan kan helpen.

    Over de historische al dan niet wiskundigheid van logica moet ik ook zeggen trouwens dat ik er evenmin probleem mee heb als een filosoof de mathematische logica zoals essentieel voor de wiskunde “gewoon logica” noemt als wanneer ik heb als een wiskundige het “gewoon wiskunde” noemt. Er staat wat mij betreft een symmetrische = tussen.

    Maar ik ga eens informeren of men hier iets doet aan/met constructivisme (eventueel bij informatica denk ik…).