Ik vermoed dat Perelman…

Een paar dagen geleden hoorde ik in het nieuws over het Poincaré Vermoeden, een wetenschappelijke stelling die tot voor kort onbewezen was, een van de zogenaamde Millenium Prize Problems. Deze is nu opgelost door de rol-bevestigend nerderige Rus Grigory Perelman. Door hier en daar rond te kijken kwam ik er al snel achter dat ik geen bal van het probleem begreep. Door wat verder te graven en ook de redactie-panelen van Sargasso, denk ik dat ik het doorheb. Here goes, correct me if I’m wrong!

Het gebied van de wiskunde waarin dit avontuur zich afspeelt heet topologie, en bestudeert geometrische figuren of objecten. Alleen de notie van wat “hetzelfde object” is, verschilt radicaal met de normale intuitie. In de topologie zijn een baksteen, een piramide, een bol etc. niet van elkaar te onderscheiden. Je mag elk object namelijk zover “kneden” (oprekken, krimpen of platslaan) als je wil. De enige restrictie is dat je niet mag knippen, scheuren of plakken. Wat wel overeenkomt met de normale intuitie is dat objecte met een of meerdere gaten niet hetzelfde zijn als objecten zonder gat. Dit komt omdat je van een bol geen donut kunt maken zonder te knippen. Alle objecten met een gat erin zijn op hun beurt dus ook weer niet van elkaar te onderscheiden, zoals een koffiekop en een donut.

Maar hoe bewijs je nu dat de wiskundige vergelijkingen van twee objecten daadwerkelijk topologisch hetzelfde zijn? De beroemde Franse wiskundige Poincaré wist dit te bewijzen voor objecten met twee dimensies, zoals de oppervlakte van een bol en die van een donut (elk punt op de oppervlakte van deze objecten is te beschrijven met twee coordinaten (x,y) vanuit het middelpunt, dus je hebt maar twee dimensies nodig om de oppervlakte van een bol te beschrijven). Nu vermoedde hij dat zijn bewijs ook gold voor drie dimensies. Het originele vermoeden is daarom:

that every simply connected closed three-manifold is homeomorphic to the three-sphere (in a topologist’s sense) S^3, where a three-sphere is simply a generalization of the usual sphere to one dimension higher. More colloquially, the conjecture says that the three-sphere is the only type of bounded three-dimensional space possible that contains no holes.

Wat dit stukje abacadabra volgens mij zegt is dat alle objecten die (a) simply connected zijn en (b) een manifold met drie dimensies zijn, equivalent zijn aan een bol en daarom gelijk aan elkaar zijn.

Zonder dat ik ook maar enige poging heb gedaan de wiskunde erachter te begrijpen, kan ik op basis van de verschillende leken-uitleggen wel een idee geven van wat men probeert te doen (in het tweedimensionale geval, n=2). Wat je moet bewijzen is dat als je een bol van alle kanten met alle kracht indrukt (alsof het een schuimrubberen bal is), je een punt overhoudt (het middelpunt). Eigenlijk verklein je dus alle coordinaten (x,y) met een factor z tot je bijna niks meer overhoudt. Als je dat nu bij een schuimrubberen donut doet (leg je handen van alle kanten rond de donut-rol), houd je echter een cirkel over in plaats van een punt. Tadaaa, een punt is niet hetzelfde als een cirkel, dus Q.E.D.

Later generaliseerde men de vraagstelling tot alle dimensies. Hoewel de bewijzen voor hogere dimensies langzaam maar zeker gevonden werden, bleek n=3 een lastig probleem. Enter ons genie Perelman, die zich twee jaar terugtrekt op de flat van zijn moeder met geld dat hij met eerder werk verzamelde. Vanaf november 2002 zet hij zijn werk online zonder het naar een wetenschappelijk tijdschrift op te sturen. Al snel hebben de wiskundigen zijn werk in de gaten, en hij wordt door een aantal vooraanstaande universiteiten in de VS uitgenodigd om zijn bewijs verder uit te leggen. Temeer daar hij niet een bewijs levert voor het Poincaré Vermoeden, maar zelfs voor Vermoeden van Thurston waaruit het eerdere Vermoeden direct volgt. Hij neemt de uitnodiging aan, om na het bezoek terug te keren naar St. Petersburg en zijn baan daar op te zeggen. Sindsdien is hij nauwelijks bereikbaar en schijnt hij de wiskunde te hebben opgegeven en paddestoelen te verzamelen in het bos.

Inmiddels heeft men Perelman de Field Medal toegekend, het equivalent van de Nobelprijs (daar er geen Nobelprijs voor Wiskunde bestaat). Hij heeft deze echter geweigerd met de mededeling:

“[the prize] was completely irrelevant for me. Everybody understood that if the proof is correct then no other recognition is needed.”

Da’s dan wel weer soort van stoer. Verder komt Perelman in aanmerking voor de Millenium Prize van een miljoen dollar voor zijn werk, zelfs al voldoet hij niet aan de voorwaarde dat hij zijn oplossing heeft gepubliceerd, maar vermoedelijk zal hij die ook weigeren.

Voor meer informatie zie ook verduidelijkende Noorderlicht artikel waarin meer van de wiskunde en geschiedenis zeer leesbaar wordt gepresenteerd.

Als laatste wil ik met u het Vermoeden van Think Tank delen: om deze wiskunde te begrijpen moet je zo gek zijn als een deur.

P.S. de maatschappelijke relevantie van dit alles ben ik nergens tegengekomen…